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Identities(항등원) #

어떤 값과 연산이 있을 때, 이 값에 연산을 진행한 결과가 원래의 값과 동일하게 만드는 값 어떠한 연산을 k라고 하겠습니다.

a (k) e=aa\space (k)\space e = a

연산의 결과로 a가 반환되었습니다. e를 이렇게 정의 할 수 있습니다.

e는 연산 k에 대한 항등원이다.

Inverses(역원) #

Inverse는 Identity를 통해 구할 수 있습니다.

a (k) e=aa\space (k)\space e = a

일 때,

a (k) x=ea\space (k)\space x = e

인 식에 대해

x는 연산 (k)에 대한 Inverse다. 라고 할 수 있습니다.

Additive Identities (덧셈에 대한 항등원 구하기) #

a+e=aa + e = a

양변에 - a를 취합니다.

(a+e)−a=a−a(a + e) - a = a - a

commutativity law를 통해 위치를 변경합니다. (더하기 연산은 commutativity law를 만족합니다. ex: a + b = b + a)

(e+a)−a=a−a(e + a) - a = a - a

associativity law를 통해 연산의 순서를 변경합니다. (더하기 연산은 associativity law를 만족합니다. ex: a + (b + c) = (a + b) + c)

e+(a−a)=0e + (a - a) = 0

e=0e = 0

0은 임의의 a에 대해 additive Identity(덧셈에 대한 항등원)이다.

example #

2+0=22 + 0 = 2

π+0=π\pi + 0 = \pi

Additive Inverses 구하기 (덧셈에 대한 역원 구하기) #

a+x=ea + x = e

에 대해 additive Identity는 0 이라는 것을 증명했으므로 e는 0이다. (e = 0)

a+x=0a + x = 0

(a+x)−a=0−a(a + x) - a = 0 - a

  • by commutative law

(x+a)−a=−a(x + a) - a = - a

x+(a−a)=−ax + (a - a) = - a

  • by associative law

x=−ax = - a

-a는 임의의 a의 additive inverse이다.

example #

2+x=02 + x = 0

π+x=0\pi + x = 0

Multiplicative Identities (곱셈에 대한 항등원) #

a∗e=aa * e = a

(a⋅e)⋅a−1=a⋅a−1(a \cdot e) \cdot a^{-1} = a \cdot a^{-1}

(e⋅a)⋅a−1=1(e \cdot a) \cdot a^{-1} = 1

  • by commutative

(e⋅a)⋅a−1=1(e \cdot a) \cdot a^{-1} = 1

  • by associative

e⋅(a⋅a−1)=1e \cdot (a \cdot a^{-1}) = 1

e⋅1=1e \cdot 1 = 1

e=1e = 1

1은 임의의 a의 multiplicative identity이다.

example #

π⋅1=π\pi \cdot 1 = \pi

Multiplicative Inverses (곱셈에 대한 역원) #

a⋅x=ea \cdot x = e

에 대해 e는 Multiplicative identity임을 보였으므로 e = 1이다.

a⋅x=1a \cdot x = 1

(a⋅x)⋅a−1=1⋅a−1(a \cdot x) \cdot a^{-1} = 1 \cdot a^{-1}

by commutative

(x⋅a)⋅a−1=a−1(x \cdot a) \cdot a^{-1} = a^{-1}

by associative

이제 정리해주면

x⋅(a⋅a−1)=a−1x \cdot (a \cdot a^{-1}) = a^{-1}

x⋅1=a−1x \cdot 1 = a^{-1}

x=a−1x = a^{-1}

x=1ax = \frac{1}{a}

임을 알 수 있다.

a{^-1}은 임의의 a의 multiplicative inverse다.

example #

π⋅x=1→x=π−1(x=1π)\pi \cdot x = 1 \rightarrow x = \pi^{-1}(x = \frac{1}{\pi})

정리 #

기초적이지만 정리할 필요가 있음을 느낍니다.