단조함수란 #

단조함수란 입력값이 입력값에 따라 출력값이 일정한 방향으로만 변화하는 함수를 의미합니다.

종류 #

단조증가 함수 (Monotonically Increasing Function)
- 조건
  - 함수 $f(x)$ 에 대해 $x_1$ , $x_2$ 에 대해 $x_1 < x_2$ 이면 항상 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다.
  - 함수값이 증가하면 함수의 출력값이 증가하거나 동일하게 유지됩니다.
단조감수 함수 (Monotonically Decreasing Function)
- 조건
  - 함수 $f(x)$ 에 대해 $x_1$ , $x_2$ 에 대해 $x_1 < x_2$ 이면 항상 $f(x_1) \ge f(x_2)$ 이다.
  - 함수값이 증가하면 함수의 출력값이 감소하거나 동일하게 유지됩니다.
단조함수는 단조증가, 단조감수한다면 역함수를 가집니다.

단조함수에서 엄격하다는 것은 단조함수의 동일하게 유지된다는 특성이 성립하지 않음을 의미합니다.

예시로 아주 단순한 단조증가 함수를 생각해보겠습니다.

엄격하고, 입력값을 단조증가하는 함수입니다. 증명해보겠습니다.

$x_1$ , $x_2$ 는 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 합시다.

$f(x_1) = x_1 + 1$ $f(x_2) = x_2 + 1$

위 식은 $x_1 + 1 < x_2 + 1$ 을 만족합니다. 따라서, $f(x_1) < f(x_2)$ 을 만족합니다.

역함수가 존재하는지 확인해보겠습니다. (지수함수는 모두 역함수를 가지므로 당연합니다.)

아무튼 역함수를 구해보겠습니다.