• a는 어떤 값이다.
  • e는 항등원이다.
  • ⊥는 어떤 연산이다.
  • x는 미지수다.

Identities | 항등원 #

  • 정의: 항등원은 어떤 값(a)과 연산이 있을 때, 값에 대해 연산을 진행한 결과 원래의 값이 그대로 나오는 것을 의미한다.

항등원에 대한 설명 #

어떤 연산을 ⊥라고 하자.

어떤 값을 a라고 하자.

a⊥e=a라고 할 때, 값 a에 대해 연산 ⊥ e를 해도 값 a가 그대로 나왔다.

이 때 ee를 연산 ⊥에 대한 항등원이라고 한다.

덧셈에 대한 항등원 | additive identity #

a+e=aa + e=a 이다.

a+e−a=a−aa+e-a=a-a

e=0e=0

0은 덧셈이 대한 항등원이다. 0은 임의의 a에 대한 additive identity (덧셈에 대한 항등원이다.)

같은 맥락을 통해 곱셈에 대한 항등원을 구할 수 있다.

곱셈에 대한 항등원 | multiplicative identity #

a⋅e=aa\cdot e=a에 대해 항등원 ee를 구해보자.

a⋅e=aa\cdot e=a

=(a⋅e)⋅a−1=a⋅a−1=(a\cdot e )\cdot a^{-1}=a\cdot a^{-1}

=(e⋅a)1a=a⋅1a=(e\cdot a)\frac{1}{a}=a\cdot \frac{1}{a}

=e=1= e=1

∴e=1\therefore e=1

따라서 e=1e=1이므로 항등원은 1이다.

Inverses | 역원 #

  • 정의: 어떤 값(a)과 연산(⊥)이 있을 때, 이 값에 연산을 진행한 결과 Identity가 되게 만드는 값

역원에 대한 설명 #

a ⊥ x = e 일 때, (e는 Identity)

x는 연산 ⊥에 대해 Inverse다.

덧셈에 대한 역원 | additive inverse #

값 a에 대해 아래와 같이 연산하면

a+(−a)=0a+(-a)=0

−a-a는 덧셈의 항등원을 출력한다. 따라서 -a는 값 a에 대한 역원이라 할 수 있다.

곱셈에 대한 역원 | multiplicative inverse #

식 a⋅x=ea\cdot x=e에 대해

  • e를 곱셈에 대한 항등원인 multiplicative identity라고 했을 때, e=1e = 1이다.
  • xx는 a에 곱해졌을 때, identity를 출력하므로 역원이라 할 수 있다.
  • 따라서 x를 구하면 a의 곱셈에 대한 역원을 구할 수 있다.

따라서

a⋅x=1a\cdot x=1

=a⋅x⋅a−1=1⋅a−1= a\cdot x \cdot a^{-1}=1\cdot a^{-1}

=x=1a=a−1= x=\frac{1}{a}=a^{-1} 이다.

a = 5일 때,

5⋅x=15\cdot x = 1인 경우 x=5−1x = 5^{-1}이다. 5−15^{-1}은 5의 곱셈에 대한 역원이다.

💡 inverse는 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어 a⋅x=1a\cdot x = 1이라는 식에서 a=0이고, inverse를 구한다고 하자 이는 바로 성립하지 않음을 알 수 있다. (0에 xx를 곱해 1을 만들 수는 없다.)