대수학에서 새로운 연산에 대해 아래의 세 연산이 성립하는지 아는 것은 중요하다.

  • Commutative properties | 교환법칙

    • 두 대상의 이항연산의 값이 두 원소의 순서에 관계없다는 성질이다.
      • a+b=b+aa + b = b + a
      • a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a

  • Associative properties | 결합법칙

    • 수학에서 결합법칙(結合 法則, associative property)은 이항연산이 가질 수 있는 성질이다. 한 식에서 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을 만족한다고 한다.
    • (aXb)Xc=aX(bXc)(aXb) X c = a X (b X c)
    • (a−b)−c≠a−(b−c)(a-b)-c \ne a-(b-c)
      • =a−b−c≠a−b+c= a-b-c \ne a-b+c

  • Distributive properties | 분배법칙

    • 대수계(代數系) S의 임의의 세 원소에 대하여 두 개의 연산을 분배한 값이 성립하는 법칙을 말한다. 이를테면, a×(b＋c)=(a×b)+(a×c)이 분배법칙을 만족한다. 2개의 연산 X, 🎸가 정의되어 있는 대수계(代數系)
    • S의 임의의 원소 a,b,c에 대하여 등식
    • aX(b🎸c)=(aXb)🎸(aXc)
    • (b🎸c)Xa=(bXa)🎸(cXa)