2.4 cardinality of sets | 집합의 크기

Cardinality는 집합의 원소의 갯수를 말한다. #

• 예를 들어 집합 $A=\{x \mid x \text{ is a natural number from 1 to 3}\}$ 라고 했을 때, $|A|=3$이 된다.
• 예를 들어 집합 $B=\{q \mid q = 1, 2\}$에서 $|B|=2$이다.

특별한 Cardinality #

• Cardinality of Empty Set | 공집합의 카디널리티 $|\emptyset|=0$
• Singleton Set | 싱글톤 카디널리티 $|A|=1$
• Equivalent Sets $|A|=|B|$ | 서로 카디널리티가 같은 집합

Finite Set과 Infinite Sets #

• Finite Set | 원소의 개수가 한정되어 있는 집합
  • $|A| = 0 \text{ or } n$
  • Finite Set의 특징으로는 원소를 인코딩할 수 있다는 것이다.

    • Finite Set은 그 갯수가 유한하기 때문에 각 원소에 숫자를 매핑할 수 있다. 이를 Encoding of Elements라고 한다.

    • 예를 들어 $|B|=\{x \mid x \text{ is a letter of the alphabet}\}$일 때, $a:1, b:2, \ldots$처럼 인덱싱하게 된다.

• Infinite Set | 원소의 개수가 무한한 집합
  • $|A|=\infty$
  • Infinite Set은 두 가지로 나뉜다.
    • Countably Infinite Sets
      • 인코딩이 가능
        • 정수를 예로 들자면 $\mathbb{Z}=\{0, -1, 1, -2, 2, \cdots\}$의 형태로 나열 순서를 변경해 인코딩이 가능하다.
    • Uncountably Infinite Sets
      • 인코딩이 불가능