집합간의 연산이란 #

집합간의 연산을 통해 새로운 집합을 만들어내는 것을 의미합니다.

집합간의 빼기 #

집합 A, B에 대해 A에는 포함되고 B에는 포함되지 않는 원소들을 모은 집합을 A - B로 나타낸다, 이를 차집합이라고 한다.

$$A - B$$

집합 A - B는 무슨 뜻일까요?

• 집합 $A \cap B != \emptyset$인 경우 $A-B=A \cap B^c$
• 집합 $A \cap B = \emptyset$인 경우 $A-B = A$

여기서 case 1번은 집합 A에서 집합 B와의 교집합 부분을 뺀 부분을 나타냅니다. case 2번은 교집합이 없는 서로소 집합이므로 집합 A에서 빼줄 것이 없으므로 집합 A가 그대로 나오게 됩니다.

$$A - B = A \cap B^{c}$$

위 벤다이어그램에서 A와 B가 아닌 모든 부분을 제거한 집합을 새로 만들어 내는 것이므로

집합 A에서 교집합 부분을 뺀 집합을 의미합니다.

집합간의 뺄셈에서 아래와 같은 연산이 참임을 알 수 있습니다.

$$B - A = B \cap B^c$$

$$P - Q = P \cap P^c$$

다른 표현 방법 - 1 #

위 처럼 표시하는 것 말고도 다른 여러가지 표현 방법이 있습니다.

$$A - B = A \cap B^{c} = A - (A \cap B)$$

$$A - B = (A \cup B) - B$$

위에서 사용한 complement를 이용해 - 기호를 없애 볼 수 있습니다.

$$A - B = (A \cup B) - B = (A \cup B) \cap B^c$$

다른 표현 방법 - 2 #

$$(A - B) \cup (A \cap B) = (A \cap B^c) \cup (A \cap B)$$

$$(A \cap B^c) \cup (A \cap B) = A \cup (B \cap B^c)$$

이때 독특한 식이 하나 나오게 됩니다. 바로 $B \cap B^c$입니다.

이게 무슨 뜻일까요? 집합 B와 여집합 B의 교집합.. 집합 B에 속하면서 B에 속하지 않는 원소들의 집합이란 것은 공집합을 가리킵니다.

$$A \cup (B \cap B^c) = A \cup \emptyset$$

다시 독특한 식인 $A \cup \emptyset$이 나옵니다. 이는 A와 공집합의 교집합을 의미하므로 $A$만 나오게 됩니다.(이는 마치 5 - 0과 같습니다.)

따라서 정리하면

$$A \cup (B \cap B^c) = A$$

라고 할 수 있습니다.

정리 #

• $B \cap B^c = \emptyset$
• $A \cup \emptyset = A$
• $A \cap \emptyset = \emptyset$

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