• 수학에서 제곱수 또는 정사각수는 어떤 자연수를 두 번 곱해서 나오는 정수입니다.

  • 세번 곱해서 나오는 수는 세제곱수입니다.

    • 네제곱수, 다섯제곱수 등 n 제곱수가 있습니다.

시그마를 사용한 수열의 합 공식과 비슷한 제곱수의 합 공식이 존재합니다.

1부터, n까지의 자연수의 제곱수의 합 공식

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

그 형태가 등차수열의 합 공식과 매우 닮아 있는데 등차수열의 합으로부터 유도되기 때문입니다.

1부터, n까지의 등차수열의 합 공식

∑k−1nk=n(n+1)2\sum_{k-1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}

제곱수의 합을 구하는 과정 #

제곱수의 합을 구할 때는 변변 더해서 서로 소거시키는 방법을 사용합니다.

항등식 (x+1)3−x3(x+1)^3 - x^3을 재료로 사용하겠습니다. 나머지 재료는 변변 더해서 소거시킨다는 생각입니다.

(x+1)3−x3(x+1)^3 - x^3을 전개하겠습니다.

(x+1)2(x+1)−x3=(x2+2x+1)(x+1)−x3(x+1)^2(x+1) - x^3 = (x^2+2x+1)(x+1) - x^3

(x3+2x2+x+x2+2x+1)−x3(x^3 + 2x^2 + x + x^2 + 2x + 1) - x^3

(x3+3x2+3x+1)−x3(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3

(x+1)3−x3=3x2+3x+1(x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1

전개해보니 최고차항이 2입니다.

수열 하던 느낌을 살려 1 부터 n까지 x에 대입해보면

(1+1)3−13=3×12+3×1+1(1+1)^3-1^3 = 3 \times 1^2 + 3 \times 1 + 1

(2+1)3−23=3×22+3×2+1(2+1)^3-2^3 = 3 \times 2^2 + 3 \times 2 + 1

(3+1)3−33=3×32+3×3+1(3+1)^3-3^3 = 3 \times 3^2 + 3 \times 3 + 1

…\dots

(n+1)3−n3=3×n2+3×n+1(n+1)^3-n^3 = 3 \times n^2 + 3 \times n + 1

이제 위 대입식들을 변변 더하는 것으로 정리하겠습니다. 첫번째 대입식의 좌변 (1+1)3(1+1)^3과 두번째 대입식의 좌변 −23-2^3은 서로 소거 됩니다.

이런 방식으로 n까지 쭉 소거해주세요

이렇게 소거하면 좌변은 첫번째 식의 −13-1^3 n번째 식의 (n+1)3(n+1)^3이 남게 됩니다. (n+1)3−13(n+1)^3 - 1^3

우변의 (3×12)+(3×22)+(3×32)…(3 \times 1^2) + (3 \times 2^2) + (3 \times 3^2)\dots를 정리하면

3(12+22+32+⋯+n)3(1^2+2^2+3^2+\dots+n)으로 정리됩니다.

마찬가지로 우변의 (3×1)+(3×2)+(3×3)+…(3×n)(3 \times 1) + (3 \times 2) + (3 \times 3) + \dots (3 \times n)을 정리하면

3(1+2+3+⋯+n)3(1 + 2 + 3 + \dots + n)으로 정리됩니다.

마지막 1이 n개 있으므로 n을 더해주면

(n+1)3−13=3(12+22+32+⋯+n)+3(1+2+3+⋯+n)+n(n+1)^3 - 1^3 = 3(1^2+2^2+3^2+\dots+n) + 3(1 + 2 + 3 + \dots + n) + n이 됩니다.

우변의 괄호 안 수열들을 ∑\sum을 통해 나타낼 수 있게 되었습니다.

(n+1)3−13=3∑k=1nk2+3∑k=1nk+n(n+1)^3 - 1^3 = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 + 3\sum_{k=1}^{n}k + n

이 식에서 저희가 이미 알고 있는 등차수열의 합은 계산하기 쉬운 형태로 변환해줍니다.

(n+1)3−13=3∑k=1nk2+3n(n+1)2+n(n+1)^3 - 1^3 = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2} + n

이제 저희가 알고싶은 공식인 ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n}k^2을 좌변에 두고 나머지를 모두 우변에 옮겨주고 정리하는 것으로 제곱의 합 공식이 완성됩니다.

(n+1)3−13=3∑k=1nk2+3n(n+1)2+n(n+1)^3 - 1^3 = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2} + n

3∑k=1nk2=n3+3n2+3n−3n(n+1)2−n3\sum_{k=1}^{n}k^2 = n^3+3n^2+3n-\frac{3n(n+1)}{2}-n

3∑k=1nk2=n3+3n2+3n−3n(n+1)2−n3\sum_{k=1}^{n}k^2 = n^3+3n^2+3n-\frac{3n(n+1)}{2}-n

3∑k=1nk2=n(2n3+3n2+n)23\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(2n^3+3n^2+n)}{2}

∑k=1nk2=n(2n3+3n2+n)6\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(2n^3+3n^2+n)}{6}

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

으로 정리됩니다.