2.4 Inclusion and Exclusion | 집합의 포함 관계

10 June 2024

$(The\ Element\ a\ is\ included\ in\ the\ set\ A)=a\in A$

$(The\ Element\ a\ is\ not\ included\ in\ the\ set\ A)=a\ \notin A$

집합 A, B에 대해 $A=B$ 이려면 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.

$[(\forall a \in A)\in B] \wedge [(\forall b \in B)\in A]$

이는 풀어쓰면 아래와 같이 정리 할 수 있다.

위 내용을 압축하면 한마디로 줄일 수 있다.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되면서, 반대도 성립되면 서로 같은 집합이다.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되며 그 반대는 만족하지 않아도 되는 경우,

집합 A는 집합 B의 Sub Set이라고 한다.

즉 집합 B는 집합 A보다 커도 상관 없다.

집합 기호로 정의하면 아래와 같다. $\forall$ 기호는 모든 원소를 의미한다.(\forall)

$A\subseteq B \longleftrightarrow (\forall a \in A) \in B$

이는 풀어쓰면 아래와 같이 정리 할 수 있다.

집합 B의 모든 원소가 집합 A에 포함될 때, A는 B의 Super Set이다.

만약 집합 A가 집합 B의 Sub Set인 경우 집합 B는 집합 A의 Super Set이다.

이를 다시 집합 기호로 표현하면 아래와 같다.

$A\supseteq B \longleftrightarrow (\forall b \in B)\in A$

집합 A가 B의 subset이면서 동등 관계는 만족하지 않는 경우 proper subset이라 한다.

이를 집합 기호로 나타내면 아래와 같다.

$A \subset B \longleftrightarrow [(\forall a \in A) \in B] \wedge [A \ne B]$

이는 집합 A는 집합 B의 subset이면서 동등하지 않다는 말이다.

super set도 똑같이 표현 할 수 있다.

$A \supset B \longleftrightarrow [(\forall a \in A) \in B] \wedge [A\ne B]$

증감하는 집합들의 나열에 대한 내용으로 기호를 사용하여 표현하면 아래와 같다.

$A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3...\subseteq A_n$

임의의 k 번째 집합에 대해 아래와 같이 정의 할 수 있고

$A_k \subseteq A_{k+1}$

k의 범위에 대해 아래와 같이 정의 할 수 있다.

$\ 1 \leq k \in \N \leq n-1$

k의 범위 내인 값인 3을 대입하면

$A_3\subseteq A_4$ 가 된다.